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Pricer d'options sur actions standards - Call et put

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Le modèle de Black Scholes Merton

Pour les options européennes, le pricer utilise le modèle développé par Black, Scholes et Merton. C'est la méthode la plus utilisée pour évaluer les options standards sur actions (call et put). Ce modèle repose sur plusieurs hypothèses :

Le prix de l'actif sous-jacent suit un mouvement brownien géométrique ;
La volatilité est constante au cours du temps ;
Il est possible d'acheter et de vendre l'actif sous-jacent à tout moment et sans frais ;
Les ventes à découvert sont autorisées (où on emprunte une certaine quantité du sous-jacent pour la vendre) ;
L'acif sous-jacent vers un dividende continu (à un taux constant) ;
Le taux d'intérêt sans risque est constant au cours du temps ;
L'exercice de l'option ne peut se faire qu'à la date d'échéance (option à exercice européen).

Sous ces hypothèses, en considérant un portefeuille constitué d'une position courte sur une option et d'une position longue sur l'actif sous-jacent dans une proportion calculée telle que le portefeuille soit sans risque, nous obtenons l'équation aux derivées partielles suivante vérifiée par le prix de l'option :

avec les notations suivantes:

f: le prix de l'option (C pour un call ou P pour un put)

t: le temps

r: le taux d'intérêt sans risque

S: le prix de l'actif sous-jacent (l'action)

sigma: la volatilité

Les solutions liées à cette équation sont alors:

où C est la valeur d'un call

où P est la valeur d'un put

Dans ces deux formules, est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.

Et on a:

Les grecques

Les lettres grecques, ou plus simplement les grecques, sont utilisés pour mettre en oeuvre la stratégie de couverture d'une option.

Ces grecques sont:

Delta

Le delta traduit donc la variabilité du prix de l'option en fonction du prix de l'action. C'est donc un indicateur très important pour la gestion des options. On cherche souvent à avoir un delta nul quand on gère un portefeuille et ce pour se prévaloir des variations du prix de l'action. Cependant, il faut souvent réactualiser sa position afin de conserver un delta nul.

Gamma

Le gamma traduit la variabilité de delta en fonction du prix de l'action.

Vega

Le vega traduit la variabilité du prix de l'option en fonction de la volatilité. Dans le modèle de Black Scholes, la volatilité est constante, mais ce n'est évidemment pas vrai dans la réalité. D'où l'importance de ce paramètre.

Theta

Le theta traduit la variabilité du prix de l'option en fonction du temps. En pratique, Theta est toujours négatif car la valeur temps d'une option décroit toujours au cours du temps.

Rho

Le rho traduit la variabilité du prix de l'option en fonction du taux d'intérêt.

Epsilon

Le epsilon traduit la variabilité du prix de l'option en fonction du taux de dividende d.

Avantages et inconvénients

Les avantages de cette méthode sont liés à la forme analytique du résultat. On peut en effet évaluer les options grâce à une formule fermée, ce qui permet d'avoir un résultat immédiat et précis. Mais l'inconvénientde cette est qu'on ne peut pas évaluer les options américaines quand il y a des dividendes discrets (quand il n'y en a pas celles-ci ont la même valeur que les options européennes).

Les produits que l'on peut évaluer grâce à cette méthode sont les call et les put européens.

Sources:

Site web: http://fr.wikipedia.org/wiki/Mod%C3%A8le_Black-Scholes

Livre: John Hull. Options, Futures, and Other Derivatives